수, 수의 체계

우리가 실생활에서, 그리고 학문에서 다루는 수의 종류는 약간 다릅니다. 일반적으로 실생활에서 다루는 수는 실수(REAL NUMBER) 정도 이고 학문적(수학, 과학)으로 다루는 수는 실수를 넘어선 허수(IMAGINARY NUMBER)까지 다루니까요. 실수와 허수, 그리고 실수 안에 있는 여러 가지 수의 체계(NUMBER SETS)는 이미 중고등학교 과정을 마치신 분이라면 수학시간에 다 배웠던 내용이라 다 아시겠지만, 다시 한 번 정리한다는 차원에서 하나씩 언급해 보도록 하겠고 더나가 수의 근간이라 할 수 있는 무한의 개념과 ALEPH에 대해서도 간단히 언급하도록 하겠습니다. (자세하게 언급하고 싶어도 제가 수학과 출신이 아닌지라 절대 무리입니다. ^-^)





1. NUMBER SETS : From Natural to Real

 

위 그림에서 보다시피 수의 체계는 상당히 복잡한 편인데, 이렇게 된 데에는 '형식불역의 원리'에 의한 수의 확장 때문입니다. '형식불역의 원리'에 대한 자세한 설명은 나중에 허수(IMAGINARY NUMBER)에서 하기로 하고 먼저 실수(REAL NUMBER)의 시작을 알리는 자연수(NATURAL)부터 알아보면,


자연수(NATURAL NUMBER. 기호 N) : 인류가 가장 먼저 발견한 수의 체계가 바로 자연수입니다. 일반적으로 수를 셀 때 사용하는 기본적 수 체계이며 양의 많고 적음과 순서를 표현할 수 있는 가장 기본적인 단위의 수체계이기도 하지요.

수학적으로 자연수는 COUNTING NUMBERS (0을 제외한 자연수 1,2,3... POSITIVE INTEGER라고도 함) 혹은 WHOLE NUMBERS (0을 포함한 자연수 0,1,2,3... NON-NEGATIVE INTEGER라고도 함) 이 두 가지 개념을 전부 포함해서 씁니다만 보통 자연수 하면 WHOLE NUMBERS 개념보다는 COUNTING NUMBERS을 우선해서 쓰는 경향이 있습니다.

WHOLE NUMBERS는 집합론에서, COUNTING NUMBERS는 수론에서 보통 사용됩니다. 

 

 

정수(INTEGER 기호 Z) : 자연수에서 수의 개념이 확장된 수의 체계로 자연수에 0과 음수가 포함된 개념입니다. (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) 음수와 0의 도입으로 인해 인류는 방정식의 해를 구할 수 있는 범위가 확장 되었으며 이는 곧 수학과 과학의 비약적 발전을 가져오게 됩니다. (참고로 INTEGER를 나타내는 기호 Z는 독일어인 Zahl에서 따온 기호입니다. Zahl은 영어로 number)



유리수(RATIONAL 기호 Q) : 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수를 지칭합니다. 단 조건이 있는데 분자와 분모는 모두 정수이며 분모는 0이 아니어야 하지요(나눗셈에서 0을 나눌 수 없기 때문에) 쉽게 말해서 실수(REAL NUMBER)중 정수와 분수를 포함한 수를 유리수라고 생각하시면 됩니다. 이를 수치로 설명하면

1/2 = 유리수 (분수로 표현이 가능하니까)
0.5 = 1/2 = 유리수
1 = 1/1 = 유리수
-0.5 = -1/2 = 유리수
6661 = 6661/1 = 유리수
0 = 0/1 = 유리수
0.3333... = 1/3 = 유리수

마지막의 순환하는 무한 소수까지 전부 분수로 표현이 가능하죠? 그렇기 때문에 정수와 분수를 포함한 수를 유리수라고 하는 것이며, 우리가 일상적으로 사용하는 대부분의 수도 유리수인 것입니다. 이를 집합개념으로 표현하면 N⊂ Z ⊂ Q 가 되는 것이죠. (Q는 QUOTIENT의 약자)

무리수 (IRRATIONAL 기호 I) : 실수이면서 정수, 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라고 합니다. 바로 순환하지 않는 무한소수들인데 이들은 분수로 표현할 수 없습니다.
무리수의 대표적인 예는 다음과 같습니다.

1.4142135.... = √2
3.1415926.... = π
2.7182818.... = e

이들은 분수로 나타낼 수 없기 때문에 세상은 수의 완벽한 체계로 이뤄졌다고 믿은 피타고라스 학파에게는 재앙의 수로 인식되었습니다. (아니 있어서는 안되는, 완벽한 조화를 깨는 수로 그 존재 자체를 숨기려고 까지....) 그래서 서양에서 조차 무리수를 IRRATIONAL, 이성적이지 못한, 불합리한 수로 표현하게 된 것이죠.(하지만 여기서 IRRATIONAL은 이성적이지 못한 그런 뜻이 아니라 비율적이지 않은의 뜻입니다. 즉 비율로 표시할 수 없는 수란 뜻이죠. 그래서 우리나라 수학자들 중 어떤 분들은 유리수, 무리수가 일본에서 잘못 넘어온 표현이며 유비수, 무비수로 바꿔야 한다고 주장하기도 합니다. 사실 유비수, 무비수가 맞는 표현이긴 합니다.) 단지 분수로 표현할 수 없다는 이유만으로 별세계의, 이상한 수 취급받는, 어찌보면 불쌍한 녀석인데, 이 무리수는 실생활에서도 흔히 보는 수입니다. √2는 가로,세로 1m인 정사각형의 대각선 길이이고, π는 바로 원의 둘레의 길이니까요. IRRATIONAL이라고 해서 굉장히 이상한 수는 절대 아니라는 소리입니다.
이런 무리수는 또한 크게 두 가지로 나눠지는데 바로 ALGEBRAIC NUMBER(대수적 수)와 TRANSCENDENTAL NUMBER(초월수)입니다.
대수적 수는
계수 ai(i = 0, 1, …, n)가 모두 정수(단 a0 ≠ 0)인 n차 대수방정식
a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + … + an = 0
의 근이 될 수 있는 수를 말합니다. 일반적인 √가 씌워진 수들이 여기에 속하지요. 그러나 어떠한 정수 계수 대수방정식을 취해도 그 근이 될 수 없는 수들이 있는데 이를 초월수라고 합니다. 바로 π나 e가 대표적인 예지요.
쉽게 설명하면 √2의 경우는 x^2 - 2 = 0의 근이 되기 때문에 대수적 수이지만 π나 e의 경우에는 어떠한 경우에도 대수방정식의 근이 되지 못하기 때문에 초월수로 분류하는 것입니다. 즉 방정식의 근이 되냐 못 되냐로 대수적 수와 초월수로 나누는 것입니다.(이렇게 쉽게 설명할 것을 꽤나 빙빙 돌려 이야기 했군요. 하지만 보통 우리가 보는 수가 초월수인지 대수적 수인지 판단하는 것은 굉장히 어렵다고 합니다. 흔해빠진 오일러 상수도 이게 초월수인지 대수적 수인지 모른다고 하니...)



실수(REAL NUMBER 기호 R) : 쉽게 설명하자면 유리수와 무리수 전체의 총칭하여 확장한 수를 실수라고 합니다만 실수를 정확하게 설명하려면 먼저 데데킨트의 절단(切斷)의 이론과 칸토어의 무한의 농도(ALEPH)에 대해서도 설명해야 합니다. 그렇게 되면 엄청나게 복잡해지고 머리가 아프므로 여기서 終....(괜히 이것을 고등학교때도 대충 넘어가고 대학 수학과 가서야 배우는 이유가 이것 때문입니다.) 






2. NUMBER SETS : IMAGINARY NUMBER와 형식불역의 원리

허수 (虛數, IMAGINARY NUMBER) : 허수란 제곱하면 음수가 되는 수를 지칭하는 말인데 실제적인 수에서 곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않습니다. 그래서 虛, IMAGINARY라고 표기를 하지요. 예를 들어보면 x^2+1=0의 경우는 실수에서 해를 가지지 못합니다. 그러나 제곱해서 음수가 되는 가상의 수가 있다면? 바로 √-1이면 x^2+1=0의 해를 구할 수 있습니다. 이 √-1가 바로 허수가 되겠으며 i = √-1로 표기합니다.
아니 그러면 존재하지 않는 수까지 만들어서 이렇게 방정식을 구해야 하나? 하는 의문이 들기 마련, 이를 설명하기 위해 등장하는 용어가 있으니 바로 형식불역의 원리입니다. (아 시바 어려운 말만 계속 나온다....)

형식불역의 원리(PRINCIPLE OF THE PERFORMANCE OF EQUIVALENT FORMS)란 처음에 기존의 수 체계에서 인정된 성질은 그대로 유지한 채 수 체계를 확장하는 대수적 구조의 확장 원리를 말합니다. 그러니까 예전 것에다가 새로운 것을 덧 입히는 것이지요. 이런 수의 확장은 예전부터 있어 왔는데 최초 자연수에서 유리수 그리고 무리수로 확장된 것이 그것이며 여기에 더해 음수개념이 도입되면서 형식불역의 원리는 빛을 발하게 됩니다. 지금 현대인들이야 음수개념을 자연스럽게 받아들이지만 고대 그리스 수학자들에게는 이해가 되지 않는 전혀 생소한 영역이었지요. 그래서 수학의 아버지라 불린 Diophantos조차 2=2x+10의 해는 없다고 할 정도였습니다. 하지만 지금은 어떻습니까?
이렇게 음수개념이 받아들여지면서 수학의 개념은 크게 발전하게 되었고 과학도 비약적으로 발전할 수 있게 되었습니다.(온도에서 영하의 개념부터 시작해서 무궁무진해졌죠) 이 형식불역의 원리가 다시 한 번 빛을 발하게 된 것은 바로 허수의 도입인 것이구요. 실제로 형식불역의 원리가 적용되기 전까지 우리가 당연히 수라고 여기는 음수조차 가상의 수였으니 허수의 도입도 형식불역의 원리로 볼 때는 당연한 것이라 볼 수 있겠습니다.

결국 이렇게 수의 개념을 확장하는 이유는 바로 방정식의 해를 구하기 위한 인간의 지식발현의 결과인 것입니다. 결국 음수건, 허수건 도입되는 이유는 바로 방정식을 풀기 위한 것입니다. (그 방정식을 푼다라는 것은 곧 과학의 발전을 의미하는 것과 거의 동급) 실제로 미분방정식에서 정의역과 공역을 실수로 제한했을 때는 풀지 못하는 문제도 그 영역을 복소수(COMPLEX NUMBER 실수와 허수를 포함한 수의 최상위 집합)로 확장하면 풀 수 있기 때문이죠. 이렇게 허수의 개념이 도입되면서 에너지 교환 법칙이라던가 양자역학 같은 고급 과학이 나올 수 있게 되었으니 虛, IMAGINARY라도 우습게 볼 성질이 절대 아닌 것이죠.

참고로 형식불역의 원리라고 해서 아무런 수의 개념을 막 갖다 붙이는건 절대로 아닙니다. 각 수간의 모순이 없어야 하는 것은 당연한 것이겠죠.






3. NUMBER SETS : COMPLEX NUMBER, 수의 최종 집합

복소수 (COMPLEX NUMBER, 기호 C) : 실수(REAL NUMBER)와 허수(IMAGINARY NUMBER) 이 두 가지를 하나로 묶은 수를 복소수, 영어로 COMPLEX NUMBER라 하며 ‘실수체 R에 허수단위 i(i2＝－1이 되는 수의 하나)를 첨가함으로써 이루어지는 체(體)의 원소이다’ 라고 사전에서 정의하고 있습니다. 물론 여기에 여러 가지 자세한 설명이 뒤따르지만 굉장히 복잡해지므로 이 정도 까지만 아셔도 무방할 듯. 수의 체계의 최종단계라고 보시면 됩니다. 복소수 이상의 수가 나오지 않는 이유는 복소수 범위에서는 더 이상 해를 가지지 않는 방정식이 존재하지 않기 때문입니다. 즉 모든 방정식의 해는 복소수 내에서 가능하다는 것입니다. 만약 그렇지 못했다면 형식불역의 원리에 의해 또 다른 수의 체계가 나왔겠지요.
최종적으로 집합 개념을 이용해서 수의 체계를 표현하면 다음과 같습니다.

너무 길어서 이번에는 여기까지 TO BE CONTINUED...



뱀발) 오류가 있으면 지적, 언제든지 환영입니다.